Проект: «Математическое искусство Морица Эшера»

Дата добавления: 01.03.2018

Автор: Покотилова А.М. -учитель математики, классный руководитель.

Введение

Математика владеет не только истинной,

но и высшей красотой - красотой отточенной

и строгой, возвышенно чистой и стремящейся

к подлинному совершенству, которое свойственно

лишь величайшим образцам искусства.

Бертран Рассел

В повседневной жизни мы нередко встречаемся с покрытиями плоскости многоугольниками: полы в жилых домах застилают паркетами, стены ванных комнат покрывают кафельными плитками, современные здания украшают орнаментами.

Нарисовать орнамент непросто.

При создании орнаментов используются следующие преобразования:

• 
  параллельный перенос, 
• 
  симметрия (с вертикальной осью и горизонтальной осью), 
• 
  центральная симметрия, поворот. 

Существуют плоские орнаменты, заполняющие лист бумаги без промежутков. Такие орнаменты называют паркетами.

Паркеты можно создавать, используя различные геометрические фигуры, их комбинации. Тетрадный лист в клеточку – это паркет. Всего существует 17 видов симметрии сетчатых паркетов. Первые семь из них допускают создание интересных паркетов без прямолинейных контуров. Простейшим видом паркета является такой, в котором плоскость заполняется фигурами с помощью параллельного переноса.

Наибольший интерес вызывают геометрические паркеты. Их создают из правильных многоугольников, из различных правильных многоугольников, из неправильных многоугольников. Существует несколько правил рисования паркетов: 

1. 
   берем известный паркет и выполняем несложные преобразования (сжатие, растяжение и т.д.), 
2. 
   объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов, 
3. 
   берем известный паркет и дополняем его новыми линиями, затем применяем преобразование плоскости. 

Можно создать множество паркетов, используя готовые фигурки с помощью параллельного переноса. Паркеты являются прекрасным материалом для вовлечения в интересную, содержательную и поучительную деятельность. Думаю, что в жизни нам это когда-нибудь пригодится. 
1 
Цель проекта: познакомиться с математическим искусством

Морица Эшера, сделать своими руками сувениры, применяя творчество художника.

Гипотеза: можно предположить картины Эшера вызывают чувство восхищения формами правильных и полуправильных тел 
Задачи проекта: 

• 
  изучить математическое искусство Морица Эшера;
• 
  сделать своими руками сувениры применяя творчество художника; 
• 
  научиться строить паркеты из самых разнообразных фигур; 
• 
  сделать выводы; 
• 
  оформить свои исследования в электроном виде (презентация). 

Работа включает в себя несколько этапов: 
1)Подготовительный этап: постановка целей и задач; поиск и сбор информации по теме проекта. 
2) Основной этап: анализ собранного материала. 
3) Заключительный этап: оформление полученной информации; выводы по исследованию; защита полученных результатов (конференция по итогам работы) 

1. Морис Корнелиус Эшер — нидерландский художник- график

Морис Корнелиус Эшер (1898—1972) — нидерландский художник-график. Математики в его гравюрах и литографиях видят ключи к доказательству теорем или оригинальные контрпримеры, бросающие вызов здравому смыслу. Их воспринимают как прекрасные иллюстрации к научным трактатам по кристаллографии, когнитивной психологии или компьютерной графики. Однажды известный геометр Г. Кокстер пригласил Эшера на свою лекцию, посвященную математическому содержанию его гравюр и литографий. К взаимному разочарованию, Эшер не понял почти ни слова из того, о чем рассказывал Кокстер. «Я так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг. Представьте себе, эти ученые люди принимают меня в свою компанию как потерянного и вновь обретенного брата! Они, кажется, не подозревают, что математически я абсолютно безграмотен».  И это говорит человек, без гравюр которого не обходится с середины прошлого века ни одна «иллюстрированная» книга по математике, физике, топологии, не говоря уж о популярных изданиях! (Кстати, советский научно-популярный журнал «Квант» публиковал Эшера свыше 20 раз, «Знание-сила» - еще больше.)В его словах, наверное, есть доля преувеличения. Так, например, в августе 1960 года Эшер прочитал лекцию по кристаллографии в Кембридже. Почему кристаллография? Видимо, потому, что из всех работ Эшера лучше всего известные его орнаменты (или мозаика), то есть периодическое заполнение плоскости одинаковыми фигурами. 

1. 1. Мозаики 

Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании, он старательно изучал и зарисовывал орнаменты в Альгамбре, выполненные в период мавританского владычества. Впоследствии он сказал, что это было для него "богатейшим источником вдохновения". Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал: 

В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически... Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.

Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости  подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник.

3

Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник. Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.

Среди кристаллографов наибольшей известностью пользуются хитроумные орнаменты Эшера, заполняющие всю плоскость. Орнаменты на стенах Альгамбры свидетельствуют о том, сколь искусны были испанские мавры в изобретении узоров, состоящих из периодических повторений конгруэнтных фигур. Но мусульманская религия запрещала мавританским мастерам использовать в орнаментах изображения живых существ: человека, животных, рыб и птиц, потому мусульманские орнаменты составлены из абстрактных геометрических фигур. Разбивая плоскость на хитроумные комбинации контуров птиц, рыб, пресмыкающихся, млекопитающих и человеческих фигур, Эшер умело включает свои орнаменты в необычайные, подчас озадачивающие неожиданными решениями композиции. Эшера очень занимала задача составления орнаментов, использующих в качестве повторяющихся элементов реальные изображения. 

1.2. Паркеты, придуманные голландским художником М. Эшером

Попробуем разобраться, как Эшер создавал свои орнаменты, на примере паркета с ящерицами. За основу берется фигура, из которой можно составить паркет – правильный шестиугольник. Если «кусочек» плоскости вырезается из внутренней области этого шестиугольника, то такой же надо добавить снаружи.

Используя паркетное покрытие можно изготовить замечательные поделки

Паркеты: «Лебеди», «Рыба», «Заглатывающая корабль», «Бабочки»

За основу берется фигура , из которой можно составить паркет с помощью параллельного переноса ,поворота . центральной симметрии этой фигуры . 
1.3. Метаморфозы

Но Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными (прим. перев. нерегулярные мозаики образуют неповторяющиеся узоры) - а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где

4

фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость Орнаменты Эшера, конечно, отвечают важной математической идее периодичности. Хорошо известен орнамент «Меньше и меньше». Масштаб уменьшается к центру, который служит неподвижной точкой всего хоровода ящериц. На орнаменте «Круговой предел» ситуация обратная – масштаб уменьшается к периферии рисунка. Наконец, на последней работе Эшера «Змеи» масштаб уменьшается как к центру, так и к граничной окружности. Странное пространство показано в этой работе. Здесь пространство уходит в бесконечность в обе стороны - и в сторону края окружности и в сторону центра окружности, что показано уменьшающимися кольцами. Если вы попадете в такое пространство, на что оно будет похоже?

Паркет «Пегасы». Работы Эшера, отталкиваясь от абстрактного понимания мировых закономерностей, будят фантазию, заставляют иначе взглянуть на мир, породить новую абстракцию – которая послужит основой нового мира либо более точного понимания нашего.

Если вам покажется, будто создание таких орнаментов — дело нетрудное, мы рекомендуем попробовать свои силы и придумать хотя бы одну композицию!

1.4. Книга “Симметричные аспекты периодических рисунков M. К. Эшера” “Иногда, когда я рисую, мне кажется, будто я медиум, находящийся во власти существ, порожденных моим же воображением, — сказал как-то раз Эшер — Они словно сами избирают, в каком виде им появиться... Линия, разделяющая две смежные фигуры, выполняет двоякую функцию, и провести такую линию чрезвычайно сложно. По обе стороны от нее обретает зримую форму то, что ранее существовало лишь в воображении. Но ни человеческий глаз, ни человеческий разум не могут одновременно созерцать две вещи, поэтому происходит быстрое и непрерывное переключение внимания с того, что находится по одну сторону линии, на то, что находится по другую сторону от 

нее. Но, вероятно, именно в этой трудности и кроется движущая пружина моего упорства”.

5

О том, сколь многими способами фантастические орнаменты Эшера иллюстрируют различные аспекты симметрии, теории групп икристаллографических законов, можно было бы написать целую книгу. Такая книга действительно была написана Каролиной Макгиллэври из Амстердамского университета. Называлась она “Симметричные аспекты периодических рисунков M. К. Эшера” и была издана Международным союзом кристаллографов. В ней собраны репродукции 41 орнамента Эшера (многие из них—цветные).

“Среди окружающего нас нередко хаотического мира, — писал Эшер, — они служат непревзойденным по своей выразительности символом извечного стремления человека к гармонии и порядку. В то же время их совершенство вызывает у нас ощущение собственной беспомощности. Правильные многогранники совершенно лишены человеческого элемента. Их нельзя считать изобретениями человеческого разума, ибо они существовали в земной коре в виде кристаллов задолго до того, как на сцене появилось человечество. Что же касается сферических форм, то разве сама Вселенная не состоит из сфер?”

Эшер, как многие гении и до и после него, утверждал: «Все мои произведения – это игры. Серьезные игры. Если бы вы только знали, какие видения посещают меняв ночной тьме… Иногда моя неспособность сделать их зримыми буквально сводит меня с ума. По сравнению с этими мыслями каждая отдельная гравюра или рисунок – это полная неудача, только мельчайшая частица необъятного целого».

“Я часто ощущаю большую близость к математикам, чем к коллегам-художникам”, — писал сам Эшер.

1.5. Литография

Его литографии, гравюры на дереве можно увидеть в кабинетах математиков и других ученых во всех уголках мира. Некоторые из его работ носят тонкие, философские и математические наблюдения.

     Обширную коллекцию работ Эшера собрал внук президента Теодора Рузвельта инженер Корнелиус Ван Шаак Рузвельт.

Литография "Рептилии" с одной стороны является продолжением математической серии работ Эшера, а с другой стороны появляющийся объем выделяет ее из работ, посвященных симметрии и орнаменту.

Из нижнего угла наброска, заполненного стилизованными рептилиеподобными фигурами, постепенно вылезают становящиеся трехмерными ящерицы. Они ползут через зоологическую книгу, усердно взбираются на додекаэдр по угольнику. На вершине додекаэдра рептилии извергают клубы дыма из ноздрей. А затем они возвращаются обратно, через сосуд в форме ступки, в плоскость наброска, где снова становятся частью бесплотного схематизированного животного орнамента. 
Действительно, на литографии "Рептилии" маленькое чудовище выползает из шестиугольной

6

мозаики, чтобы начать краткий цикл трехмерного бытия. Достигнув высшей точки, - взобравшись на додекаэдр, рептилия вновь возвращается в безжизненную плоскость. Глубокий философский оттенок этого замкнутого круга событий невольно обращает ум к поэзии древнего Востока:

"Удивленья достойны поступки творца! 
Переполнены горечью наши сердца, 
Мы уходим из этого мира, не зная 
Ни начала, ни смысла его, ни конца. 
Спираль

В пространстве парит женский образ, напоминающий о спиралях срезаемой фруктовой кожуры или полой, разбитой на куски скульптуры. Ощущение глубины подчеркнуто грядой облаков, уменьшающихся и рассасывающихся по мере приближения к горизонту.

Бесконечное единение

Две соединенные спирали создают женскую голову слева и мужскую — справа. Лбы их перевиваются, подобно бесконечной ленте, создавая двойное единство. Ощущение пространства усилено благодаря сферам, проплывающим между, внутри и позади этих полых изображений.

Эшер был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами". Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Работами совсем иной категории являются игры с законами перспективы, создание “невозможных” конфигураций. Примерами их могут служить литографии Эшера «Бельдер», «Водопад» и др. 

1.6. Популярность художника

В 21 веке популярность художника невероятно возросла. В сети Интернет множество сайтов посвящено его работам, многие художники создают свои «невозможные объекты», другие копируют работы Эшера, например, в ЛЕГО. На популярном сайте «Невозможные объекты» мы можем увидеть и анимационные ролики. Даже дети рисуют невозможных животных, составляют загадочные фигуры из карандашей. В номере газеты «Аргументы и факты» (октябрь 2005) титульный лист

украшает коллаж. Наши министры шествуют по замкнутой лестнице, как монахи на литографии “Восхождение и спуск”.

7

Последний «писк» моды футболки с рисунками орнаментов Эшера, часы

     Один из наших современных дизайнеров, В.Ф.Колейчук, сумел изготовить "невозможный" треугольник Эшера. А математики утверждают, что и дворцы, в которых можно спуститься вниз по лестнице, ведущей вверх, тоже могут существовать. Для этого нужно лишь построить такое сооружение не в трехмерном, а, скажем, в четырехмерном пространстве. А уж в виртуальном мире, который открывает нам современная компьютерная техника, и не такое можно натворить... 
      Вот так в наши дни осуществляются задумки человека, который еще на заре века поверил в существование невозможных миров. 

Практическая работа

Используя паркетное покрытие можно изготовить замечательные поделки

Сувенир «Ящерицы».

Этапы выполнения работы:

- работа с компьютером (поиск рисунка , увеличение рисунка, печать),

- изготовление шаблона из картона;

- нанесение рисунка на фанеру (работа с карандашом);

- работа с прибором для выжигания, выжигание контуров рисунка;

- подбор карандашей, разукрашивание рисунка;

- покрытие лаком.

И вот получился такой сувенир «Ящерица»- выполнила работу Казакова Катя 

Платочек «Лебеди»

Этапы работы

-работа с компьютером (поиск рисунка , увеличение рисунка, печать),

- подбор ткани синего цвета и ниток белого цвета;

- нанесение рисунка на ткань (работа с карандашом);

- вышивание лебедей

И вот получился такой красивый сувенир , сделанный своими руками платочек «Лебеди» - выполнила работу Кутукова Даша. Подарок, изготовленный своими руками, самый дорогой подарок.. 
Наше творчество- паркеты 

8

Создавая паркеты из прямоугольников, квадратов, окружности мы приобрели навыки конструирования, полезные для решения практических задач и попробовали свои силы в роли дизайнера, подбирая цвета для наших паркетов.

Заключение

Мыслитель, художник, математик - Мориц Корнелиус Эшер вошел в историю как человек, создававший невероятные и удивительные картины, бросающие вызов здравому смыслу…

Мы поняли, что математическая деятельность имеет эстетический характер. Зная основные правила составления паркетов, можно создать самые различные паркеты. Паркеты являются прекрасным материалом для вовлечения в интересную, содержательную и поучительную деятельность, развивают творчество. 
Вывод: 

• 
  познакомились с оригинальным творчеством художника Мориса Эшера; 
• 
  научились составлять паркеты из простейших фигур; 
• 
  сделали своими руками сувениры, применяя творчество художника. 

Наша гипотеза подтвердилась, картины Эшера вызывают чувство восхищения формами правильных и полуправильных тел. Среди окружающего нас нередко хаотического мира, они служат непревзойденным по своей выразительности символом извечного стремления человека к гармонии и порядку.